Teorema sulle Mappe Quozienti per Topologie Indotte

Mappa Quoziente e Topologia Indotta

Sia $A\subseteq X$ un qualsiasi insieme e $p:X\to Y$ una mappa quoziente.
Restringo $p$ ad $A$, ottenendo la funzione $(p_{|A}{)}_{\#}:A\to p(A)\subseteq Y$
Non è detto che $(p_{|A}{)}_{\#}$ sia mappa quoziente.

Teorema

Sia $p:X\to Y$ una mappa quoziente e sia $A$ un sottoinsieme saturo di $X$. Posto $(p_{|A}{)}_{\#}=:q:A\to p(A)$, allora

1. Se $A$ è aperto (o chiuso) allora $q$ è mappa quoziente.
2. Se $q$ è aperta o chiusa allora $q$ è mappa quoziente.

Dimostrazione

Per ottenere la tesi, dimostriamo le seguenti uguaglianze:

1. $q^{-1}(V)=p^{-1}(V)$ se $V\subseteq p(A)$
2. $p(U\cap A)=p(U)\cap p(A)$ se $U\subseteq X$

Osserviamo che, poiché $V\subseteq p(A)$ e $A$ è saturo, allora $p^{-1}(V)\subseteq A$.
$⟹$ Sia $p^{-1}(V)$ che $q^{-1}(V)$ coincidono con il sottoinsieme di $A$ che $p$ manda in $V$.

Per la seconda equazione, per ogni coppia di sottoinsiemi $U$ e $A$ di $X$ vale sempre l’inclusione:
$p(U\cap A)\subseteq p(U)\cap p(A)$
Dimostriamo l’inclusione inversa:
Supponiamo che $y:=p(u)=p(a)$ per qualche $u\in U$ e $a\in A⟹p^{-1}(y)\ni u$.
Poiché $A$ è saturo, esso contiene interamente la fibra di $a$:
$p^{-1}(p(a))=p^{-1}(y)=p^{-1}(p(u))\subseteq A$
Poiché $u$ appartiene a $p^{-1}(p(y))$, allora $u\in p^{-1}(p(a))⟹u\in A$.
Essendo anche $u\in U$, concludiamo che $u\in U\cap A$.