Toro

Toro

Definizione 1

L’insieme ${\mathbb{T}}^n:=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{S^1\times \cdots \times S^1}}$ è chiamato toro

Definizione 2 (versione astratta)

Sia $I=[0,1]$. Su $I\times I$ definisco la relazione di equivalenza:
$p\sim q⟺p,q\in \underset{\text{bordi orizzontali}}{\underbrace{\{(s,0),(s,1)\}}}\vee \underset{\text{bordi verticali}}{\underbrace{\{(0,t),(1,t)\}}}\vee p=q$

Il toro è definito come l’insieme $\tilde{\mathbb{T}}:={}^{I\times I}{/}_{\sim }$ e risulta omeomorfo a ${\mathbb{T}}^2=S^1\times S^1$.
Infatti, definisco $F:I\times I\to {\mathbb{T}}^2$ tale che
$(s,t)\in I\times I⟼(e^{2\pi is},e^{2\pi it})$
Si dimostra che $F$ è una mappa quoziente e inoltre vale che:
$\forall (t,s),(t^{\prime },s^{\prime })\in I\times I:F(t,s)=F(t^{\prime },s^{\prime })⟺(t,s)\sim (t^{\prime },s^{\prime })$
Dunque per il teorema sull’Unicità della Topologia Quoziente si ha che ${\mathbb{T}}^2$ è omeomorfo a ${}^{I\times I}{/}_{\sim }$

Definizione 3

${}^{{\mathbb{R}}^2}{/}_{{\mathbb{Z}}^2}:={}^{{\mathbb{R}}^2}{/}_{\sim }$ dove $\sim$ è la relazione di equivalenza tale che $(t,s)\sim (t^{\prime },s^{\prime })⟺t-t^{\prime }\in \mathbb{Z},s-s^{\prime }\in \mathbb{Z}$
Anche questo toro è omeomorfo a ${\mathbb{T}}^2$

Definizione 4 ${\mathbb{R}}^3$ In ${\mathbb{R}}^3$ prendiamo la circonferenza perpendicolare all'asse $y$ di raggio $r<R$ e centrata in $(R,0,0)$ $\mathcal{C}:\{\begin{array}{l}x=R+r\cos \theta \\ y=0\\ z=r\sin \theta \end{array}$ Se le facciamo un moto di rivoluzione attorno all'asse $y$, le coordinate $z$ non variano, mentre $x$ e $y$ variano: $\{\begin{array}{l}x=(R+r\cos \theta )\cos \phi \\ y=(R+r\cos \theta )\sin \phi \\ z=r\sin \theta \end{array}$ Tale parametrizzazione descrive il toro, che può essere definito anche così: $x^2+y^2=(R+r\cos \theta {)}^2⟹\sqrt{x^2+y^2}=R+r\cos \theta ⟹$ $⟹(\sqrt{x^2+y^2}-R{)}^2=r^2{\cos }^2\theta =r^2(1-{\sin }^2\theta )=r^2-r^2{\sin }^2\theta =r^2-z^2⟹$ $(\sqrt{x^2+y^2}-R{)}^2+z^2=r^2$ Dunque $\mathcal{T}=\left\{(x,y,z)\in R^3|{\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}^2=r^2\right\}$

Il toro è una superficie di rivoluzione in