Unicità della Topologia Quoziente

Unicità della Topologia Quoziente

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e siano
$f_1:(X,\tau )\to (Y_1,{\tau }_1)$
$f_2:(X,\tau )\to (Y_2,{\tau }_2)$
Se $\forall x,x^{\prime }\in \tau :f_1(x)=f_1(x^{\prime })⟺f_2(x)=f_2(x^{\prime })$, ossia vale $(1)$ in entrambe le direzioni
Allora $\exists !\varphi :Y_1\to Y_2$ e $\varphi$ omeomorfismo.

Dimostrazione

Per la proposizione di passaggio al quoziente risulta che $\exists !\varphi :(Y_1,{\tau }_1)\to (Y_2,{\tau }_2)$ ed $\exists !\psi :(Y_1,{\tau }_1)\to (Y_2,{\tau }_2)$ tali che:

1. $\varphi \circ f_1=f_2$
2. $\psi \circ f_2=f_1$

Pertanto $\psi \circ \underset{=f_2}{\underbrace{\varphi \circ f_1}}=f_1$ e anche $\varphi \circ \underset{=f_1}{\underbrace{\psi \circ f_2}}=f_2$
Dunque $\varphi \circ \psi =i{d}_{Y_1}$ e $\psi \circ \varphi =i{d}_{Y_2}$