Costruzione delle Funzioni Composte

Osservazione

Considero $f:X\to Y$ mappa quoziente e sia $\alpha :X\to Z$.
Quando $\exists \overline{\alpha }:Y\to Z$ tale che $\overline{\alpha }\circ f=\alpha$?
Potrei costruire tale funzione tale che $\forall y\in Y:\overline{\alpha }(y)=\alpha (x)$ con $x\in X|f(x)=y$.
Tuttavia questo non è ben definito, perché se c’è un $x^{\prime }|f(x^{\prime })=y$ non è detto che $\overline{\alpha }(y)=\alpha (x^{\prime })$
É necessario dunque che $\forall x,x^{\prime }\in X:f(x)=f(x^{\prime })=y\stackrel{(1)}{⟹}\alpha (x)=\alpha (x^{\prime })$
Dunque definisco $\overline{\alpha }$ in modo tale che:
$\forall y\in Y$, sia $x\in X|f(x)=y$ allora $\overline{\alpha }(y):=\alpha (x)$
Se $f(x^{\prime })=f(x)=y$, per la $(1)$ vale $\alpha (x)=\alpha (x^{\prime })$
In tal caso $\exists !\overline{\alpha }:Y\to Z$ tale che $\overline{\alpha }\circ f=\alpha$

Inoltre se $\alpha$ è continua, allora anche $\overline{\alpha }$ è continua.