Topologia Prodotto

Topologia Prodotto

Siano $(X,\tau ),(Y,\sigma )$ due spazi topologici. La topologia prodotto del prodotto cartesiano $X\times Y$ è generata dalla base $\beta =\{U\times W\mid U\in \tau ,W\in \sigma \}$.
Più in generale, dati $(X_1,{\tau }_1),\dots ,(X_n,{\tau }_n)$, la topologia prodotto dell’insieme $\prod _{i=1}^n{X}_i=X_1\times \cdots \times X_n$ è generata dalla base $\left\{\prod _{i=1}^n{U}_i|U_i\in {\tau }_i,\forall i=1\dots n\right\}$

Suriezione canonica della Topologia Prodotto

Considero la funzione ${\pi }_i:\prod _{i=1}^n{X}_i\to X_i$ tale che $(x_1,\dots ,x_n)⟼x_i$
Risulta che posto $S_i:=\left\{{\pi }_i^{-1}(U_i)|U_i\in {\tau }_i\right\}$, $S=\bigcup _{i=1}^n{S}_i$ genera (ma non è base di) $\left(X_1\times \cdots \times X_n,{\tau }_1\times \cdots \times {\tau }_n\right)$.

Esempio

Considero $(\mathbb{R},\mathcal{E})$ topologia euclidea e $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ topologia discreta, generate dalle basi ${\beta }_{\mathcal{E}}=\{\left(a,b\right)|a,b\in \mathbb{R}\}$ e ${\beta }_p=\{\{x\}|x\in \mathbb{R}\}$.
Considero $\left(0,1\right)\in \mathcal{E}$, allora ${\pi }_1^{-1}(\left(0,1\right))=\left(0,1\right)\times \mathbb{R}$.
Se prendo l’aperto $\{0\}\in \mathcal{P}(\mathbb{R})$, allora ${\pi }_2^{-1}(\{0\})=\mathbb{R}\times \{0\}$
La topologia prodotto $\mathcal{E}\times \mathcal{P}(\mathbb{R})$ contiene rette e segmenti aperti orizzontali (ma non verticali).

Topologia Prodotto su ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$

Su ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ la topologia prodotto è generata dalla base
$\beta =\{U_1\times \cdots \times U_n\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \dots |n\in \mathbb{N}\}$