Teorema sulla Topologia Prodotto Indotta dalla D Metrica

Topologia Prodotto Indotta dalla $D$ Metrica

Sia $\overline{d}(x,y)=\min \{d(x,y),1\}$ la metrica uniforme su $\mathbb{R}$. Se $x=(x_i),y=(y_i)\in {\mathbb{R}}^{\omega }$, definisco $D(x,y)=\sup \left\{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\right\}$.
Risulta che $D$ è una metrica e induce la topologia prodotto ${\tau }_{\text{prod}}$.

Dimostrazione

Ѐ necessario dimostrare che $D$ è metrica. I primi 3 assiomi sono ovvi, dimostro che vale la dis. triangolare.
Siano $x,y,z\in {\mathbb{R}}^{\omega }$:
$D(x,z)=\sup \left\{\frac{\overline{d}(x_i,z_i)}{i}\right\}\le \sup \left\{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)+\overline{d}(y_i,z_i)}{i}\right\}\le$
$\sup \left\{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\right\}+\sup \left\{\frac{\overline{d}(y_i,z_i)}{i}\right\}=D(x,y)+D(y,z)$
Dunque $D(x,y)$ è una metrica.
Per dimostrare che $D$ induce ${\tau }_{\text{prod}}$, applico il Lemma sulle Metriche e Confronto tra Topologie in entrambe le direzioni.
Provo innanzitutto che la topologia prodotto è più fine della topologia indotta da $D$.
Sia $U$ un aperto di ${\tau }_D$ e $x\in U$. Devo trovare $V\in {\tau }_{\text{prod}}|x\in V\subseteq U$
Sia $B_D(x,\epsilon )\subseteq U$ per qualche $\epsilon >0$.
Sia $N\in \mathbb{N}|\frac{1}{N}<\epsilon$.
Considero $V=(x_1-\epsilon ,x_1+\epsilon )\times \cdots \times (x_N-\epsilon ,x_N+\epsilon )\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \dots$.
Ovviamente $x\in V$, quindi resta da dimostrare che $V\subseteq U$.
In generale vale che se $y\in {\mathbb{R}}^{\omega }⟹\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\le \frac{1}{N},\forall i\ge N$ (perché il numeratore al massimo può essere 1, mentre il numeratore è maggiore di $N$).
Dunque $D(x,y)=\sup \left\{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\right\}\le \max \left\{\frac{\overline{d}(x_1,y_i)}{1},\frac{\overline{d}(x_2,y_2)}{2},\dots ,\frac{1}{N}\right\}$
Se $y\in V⟹\forall i=1\dots N:\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}<\epsilon$ e $\frac{1}{N}<\epsilon$, allora $D(x,y)<\epsilon$ quindi $y\in B_D(x,\epsilon )$.
(in pratica ponendo $\frac{1}{N}<\epsilon$, mi sono assicurato che i punti di $V$ abbiano distanza $D(x,y)<\epsilon$)
Proviamo adesso che ogni aperto della topologia prodotto contiene un aperto della topologia indotta da $D$.
Sia $U=\prod _{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{U}_i$ di ${\tau }_{\text{prod}}$, dove $U_{{\alpha }_i}$ è un aperto di $\mathbb{R}$ per ${\alpha }_i\in \{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}⊊{\mathbb{Z}}_{+}$ e $U_{{\alpha }_i}=\mathbb{R}$ $\forall {\alpha }_i\in \mathbb{Z}\setminus \{{\alpha }_1,\dots {\alpha }_n\}$.
In altre parole sto facendo in modo che $U_{{\alpha }_i}=\mathbb{R}$ definitivamente (per come sono fatti gli aperti di ${\tau }_{\text{prod}}$).
$\forall i={\alpha }_1\dots {\alpha }_n$ fisso un ${\epsilon }_i<1$ tale che $(x_i-{\epsilon }_i,x_i-{\epsilon }_i)\subseteq U_{{\alpha }_i}$
Definisco $\epsilon =\min \left\{\frac{e_i}{i}\right\}$.
Osservo che $\forall y\in B_D(x,\epsilon ):\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\le D(x,y)<\epsilon <\frac{{\epsilon }_i}{i}<1$
Quindi $\forall i={\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n:y_i\in U_i=(x_i-{\epsilon }_i,x_i-{\epsilon }_i)$.
Per gli altri indici ovviamente $y_i\in U_{\alpha }=\mathbb{R}$.
Concludo che $B_D(x,\epsilon )\subseteq U$.
Ho provato quindi che la topologia indotta dal $D$ e la topologia prodotto sono uguali.