Metrica

Metrica

Sia $X\ne \varnothing$ un insieme. $d:X\times X\to \mathbb{R}$ si dice metrica o distanza se verifica le seguenti proprietà:

1. $\forall x,y\in X:d(x,y)\ge 0$;
2. $\forall x,y\in X:d(x,y)=0⟺x=y$;
3. $\forall x,y\in X:d(x,y)=d(y,x)$;
4. $\forall x,y,z\in X:d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$ (Disuguaglianza Triangolare).
   

Distanza Euclidea

• In ${\mathbb{R}}^2$, la distanza euclidea è $d(x,y)=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$
• Più in generale in ${\mathbb{R}}^n$ la distanza euclidea è definita così:
  $d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$
  

$p$-metrica

In ${\mathbb{R}}^n$, la $p$-metrica si definisce ponendo $d_p(x,y)={\left(\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$

$\infty$-metrica

Se $p\to \infty$ si ottiene la $\infty$-metrica:
$p(x,y)=d_{\infty }(x,y)=\underset{1\le i\le n}{\sup }|x_i-y_i|$

Metrica discreta

Sia $X$ un insieme non vuoto. La Metrica Discreta è definita ponendo:
$d(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ se }x=y\\ 1& \text{ se }x\ne y2\end{array}$