Topologia indotta da una metrica

Topologia indotta da una metrica

Sia $X\ne \varnothing$ Sia $d(x,y)$ una metrica.
La topologia indotta ${\tau }_d$ dalla metrica è quella generata dalla base $\beta =\{B_r(x)\mid x\in X,r\in R^{+}\}$

Metrica discreta

Le palle aperte definite sulla metrica discreta su $X$ $d(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ se }x=y\\ 1& \text{ se }x\ne y\end{array}$ sono del tipo $\{\begin{array}{ll}X& \text{ se }r>1\\ \{x\}& \text{ se }r\le 1\end{array}$
Osservo che tutti i singoletti sono aperti, quindi anche la loro unione è un aperto. Ciò significa che la topologia indotta dalla metrica discreta contiene tutti i sottoinsiemi di $X$, dunque è la topologia discreta $(X,\mathcal{P}(X))$