Le topologie indotte sono I-numerabili

Le topologie indotte sono I-numerabili

Sia $X\ne \varnothing$ e $d(x,y)$ una metrica su $X$. Sia ${\tau }_d$ la topologia indotta.
Allora ${\tau }_d$ è I-numerabile

Dim

Considero $\mathcal{U}(x)=\{B_{1/n}(x)\mid x\in X,n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$.
Dimostro che è sistema fondamentale di intorni.
Sia $A\in {\tau }_d$ tale che $x\in A$. Allora $\exists r>0\mid B_r(x)\subseteq A$ poiché ${\tau }_d$ ha come base l’insieme di tutte le palle aperte di $d$. Per il principio di archimede, $\exists n\in {\mathbb{N}}^{+}$ tale che $\frac{1}{n}<r$. Ho trovato dunque un elemento di $\mathcal{U}(x)$ contenuto in $A$.
Dall’arbitrarietà di $x$ e di $A$ perviene la tesi.