Sistema fondamentale di intorni

Sistema fondamentale di intorni

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico. Una famiglia di insiemi $\mathcal{U}(x)\subseteq \tau$ si dice sistema fondamentale di intorni se $\forall A\in \tau \mid x\in A:\exists V\in \mathcal{U}(x)\mid x\in V\subseteq A$

Esempi di Sistemi fondamentali

In $\mathbb{R}$, un sistema fondamentale di intorni è

• $\mathcal{U}(x)=\left\{(x-\epsilon ,x+\epsilon )\mid \epsilon >0\right\}$
• $\mathcal{U}(x)=\left\{\left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right)\mid \epsilon >0\right\}$
  

Le basi definiscono sistemi fondamentali di intorni

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e $\beta$ base per $\tau$. Allora $\forall x\in X:{\beta }_x=\{B\in \beta \mid x\in B\}$ è un sistema fondamentale d’intorni.

Dim

Sia $x\in X$ e ${\beta }_x=\{B\in \beta \mid x\in B\}$. Sia $A\in \tau$ che contiene $x$. Per definizione di base $\exists B\in \beta \mid x\in B\subseteq A$. Quindi $B\in {\beta }_x$.