Metriche Equivalenti

Metriche Equivalenti

Siano $d_1,d_2$ due metriche su $X\ne \varnothing$.
Si dice che sono equivalenti se inducono la stessa topologia.

Esempio

Risulta che in ${\mathbb{R}}^2$ la metrica euclidea e la $\infty$-metrica sono equivalenti.
Questo perché preso un qualsiasi cerchio aperto di $d_2$ posso ricoprirlo di aperti di $d_{\infty }$ e viceversa, quindi ogni aperto di ${\tau }_{d_2}$ è unione di aperti di ${\tau }_{d_{\infty }}$ e viceversa