Orecchino Hawaiiano

Orecchino Hawaiiano

Considero l’insieme di cerchi con centro $\left(\frac{1}{n},0\right)$, e raggio $\frac{1}{n}$
Definisco $X:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\{(x,y)\in \mathbb{R}|\underset{C_n}{\underbrace{{\left(x-\frac{1}{n}\right)}^2+y^2=\frac{1}{n^2}}}\}$
$X$ può essere definito come $\underset{i=1}{\overset{\infty }{⨆}}{}^{(0,1)}{/}_{\sim }$ con $\sim$ la relazione di equivalenza che identifica $0$ con $1$
$X$ è anche uguale a $\underset{n\in \mathbb{N}}{\bigvee }{S}_n^1$
Posso descrivere un cammino su $C_n$ mediante la mappa $l_n:[0,1]\to C_n$ tale che $t⟼\left(\frac{1}{n}\cos (2\pi t-\pi )+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\sin (2\pi t-\pi )\right)$ mentre il loop inverso $l_n^{-1}(t)=l_n(1-t)$
Se considero la semiretta orizzontale positiva: $A=\{(x,0)\in {\mathbb{R}}^2|x>0\}$
I punti di $A$ intersecano ogni circonferenza esattamente una volta:
$A\cap C_n:{\left(x-\frac{1}{n}\right)}^2+0^2={\left(\frac{1}{n}\right)}^2⟹x=\frac{2}{n}$.
Dunque $S:=A\cap X=\left\{\left(\frac{2}{n},0\right)|n\in \mathbb{N}\right\}$.
Risulta che $S$ non è chiuso nella topologia indotta da $X$. Infatti se lo fosse, conterrebbe i suoi punti di accumulazione. Infatti, considerando la successione ${\left\{\left(\frac{2}{n},0\right)\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq S$ tende al punto $(0,0)\notin S$.