Teorema dei Valori Intermedi

Teorema dei Valori Intermedi

Sia $f:X\to (\mathbb{R},\mathcal{E})$ una funzione continua dove $X$ è connesso. Siano $a,b\in X$ e sia $r\in \mathbb{R}$ compreso tra $f(a)$ e $f(b)$. Allora $\exists c\in X|f(c)=r$

Dim

Osservo che per il Teorema sull’immagine di spazi connessi mediante funzioni continue, $f(X)$ è connesso.
Considero gli insiemi $A=(-\infty ,r)\cap f(X)$ e $(r,+\infty )\cap f(X)$.
Risulta che $A\cap B=\varnothing$ e $A,B$ non vuoti per costruzione.
Inoltre sono aperti (nella Topologia indotta) perché intersezione tra $f(X)$ e aperti di $\mathbb{R}$.
Se non esistesse una $c\in X|f(c)=r$ allora risulterebbe che $A\cup B=f(X)$, ossia troverei una separazione del sottospazio $f(X)$, ma ciò è assurdo.