Teorema sulla Metrica euclidea, Distanza Chebyshev e Topologia Prodotto

Teorema

Le topologie indotte dalla metrica euclidea $d$ e dalla metrica di chebyshev $p$ sono uguali alla topologia prodotto su ${\mathbb{R}}^n$.

Dimostrazione

Per verificare l’uguaglianza, devo far vedere che ogni aperto di una topologia è contenuto da un aperto dell’altra topologia e viceversa.
Dimostro prima di tutto che le metriche $p$ e $d$ sono equivalenti, ossa inducono la stessa topologia.
Siano $x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$. Risulta che:
$p(x,y)\le d(x,y)\le \sqrt{n}\cdot p(x,y)$
infatti, considerato $a_i=|x_i-y_i|$, si ha che
$d(x,y{)}^2={\sum }_{i=1}^n{a}_i^2\le {\sum }_{i=1}^n{\max }_{1\le i\le n}\{a_i{\}}^2={\sum }_{i=1}^{n}p(x,y)=n\cdot p(x,y{)}^2$
Ottengo dunque $d(x,y)\le \sqrt{n}p(x,y)$.
Inoltre vale:
$p(x,y{)}^2=\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_i^2\}\le \sum _{i=1}^n{a}_i^2=d(x,y{)}^2⟹$
$⟹p(x,y)\le d(x,y)\le \sqrt{n}\cdot p(x,y)$
Ho dimostrato dunque che le metriche sono equivalenti:
$B_d(x,\epsilon )=\{y\in {\mathbb{R}}^n|d(x,y)<\epsilon \}$ e $B_p(x,\epsilon )=\{y\in {\mathbb{R}}^n|p(x,y)<\epsilon \}$.
Quindi se $d(x,y)<\epsilon ⟹p(x,y)\le d(x,y)<\epsilon$ da cui $B_d(x,\epsilon )\subseteq B_p(x,\epsilon )$
(non il viceversa perché se $p(x,y)<\epsilon$ non è detto che $d(x,y)<\epsilon$ quindi non tutti i punti di $B_p$ sono anche punti di $B_d$ a parità di $\epsilon$)
Viceversa se $p(x,y)<\epsilon ⟹d(x,y)<\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}$ quindi $B_p(x,\epsilon )\subseteq B_d\left(x,\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}\right)$

Dimostro ora che la topologia indotta da $p$ è uguale alla topologia prodotto.
Sia $B=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times \cdots \times (a_n,b_n)$ e sia $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in B$
Allora $\forall i=1\dots n,\exists {\epsilon }_i>0|(x_i-{\epsilon }_i,x_i+{\epsilon }_i)\subseteq (a_i,b_i)$
Quindi, scelto $\epsilon =\min \{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n\}$ risulta che $B_p(x,\epsilon )\subseteq B$.
(Ossia: $(x_1-\epsilon ,x_1+\epsilon )\times \cdots \times (x_n-\epsilon ,x_n+\epsilon )\subseteq (a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$)
Per l’altra inclusione mi basta prendere $\epsilon =\max {\epsilon }_i$