Confronto tra box topologia e topologia prodotto

Proposizione

$\left({\mathbb{R}}^{\mathbb{N}},{\tau }_{\text{prod}}\right)⊊\left({\mathbb{R}}^{\mathbb{N}},{\tau }_{\text{box}}\right)$, ossia la Box Topologia è più fine della Topologia Prodotto .
Su ${\mathbb{R}}^{\{0,\dots ,n\}}$ ${\tau }_{\text{prod}}={\tau }_{\text{box}}$
Infatti, in ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ gli aperti della topologia box da un certo $n$ in poi non hanno vincoli, cioè gli insiemi del tipo ${\prod }_{a,b\in \mathbb{R}}(a,b)$ non fanno parte della topologia prodotto.