Confronto tra Topologia Uniforme e Topologia Prodotto

La Topologia Uniforme è più Fine della Topologia Prodotto

Se $J$ è infinito, la topologia uniforme è più fine della topologia prodotto. Se $|J|<+\infty$ allora le due topologie coincidono.

Dimostrazione

Sia $x=(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in J}$Considero un’aperto di ${\mathbb{R}}^J$ con $J$ infinito centrato in $x$. Tale aperto è del tipo $U=\prod _{\alpha \in J}{U}_{\alpha }$, dove $U_{\alpha }=\mathbb{R}$ da un certo $\alpha$ in poi (ossia definitivamente).
Sia $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$ l’insieme finito degli indici per il quale $U_{{\alpha }_i}\ne \mathbb{R}$.
$\forall i=1\dots n$ scelgo ${\epsilon }_i>0$ tale che $B_{\overline{d}}(x_{\alpha },{\epsilon }_i)\subseteq U_{{\alpha }_i}$ e definisco $\epsilon =\min \{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n\}$.
Osservo che $\forall \alpha \in J:B_{\overline{d}}(x_{\alpha },\epsilon )\subseteq U_{\alpha }$, dunque $B_{\overline{p}}(x_{\alpha },\epsilon )\subseteq U$. Per il Lemma sulle Metriche e Confronto tra Topologie si ha la tesi, dato che per ogni aperto generico di ${\tau }_{\text{prod}}$ ho trovato un aperto della topologia uniforme.