Lemma del Tubo

Lemma del Tubo

Siano $X,Y$ spazi topologici e $Y$ compatto.
Sia $x\in X$ e $\vartheta \subseteq X\times Y$ un aperto che contiene $\{x\}\times Y$.
Allora $\exists U$ intorno di $x_0$ tale che $\{x\}\times Y\subseteq U\times Y\subseteq \vartheta$

Dim

Consideriamo $x_0\in X$ e $\vartheta \supseteq \{x_0\}\times Y$
Poiché siamo nella topologia prodotto, allora $\forall y\in Y$ esiste un intorno aperto $M=U_y\times V_y\subseteq \vartheta$ ($\vartheta$ è aperto in ${\tau }_{\text{prod}}$) centrato in $(x_0,y)$
Osservo che $\{V_y\}$ è un ricoprimento di aperti di $Y$, che è compatto, quindi posso trovare una collezione finita $\{V_{y_1},\dots ,V_{y_n}\}$ di aperti che ricopre $Y$.
Definisco $U=\bigcap _{i=1}^n{U}_{y_i}$ intorno aperto di $x_0$ perché intersezione finita di aperti.
Si ha che l’insieme $U\times Y$ è un intorno aperto e $U\times Y\subseteq \vartheta$