Teorema del Limite Uniforme

Teorema del Limite Uniforme

Sia $f_n$ una successione di funzioni da $X$ spazio topologico a $Y$ spazio metrico.
Se $f_n$ converge uniformemente a $f$, allora $f$ è continua

Dim

Sia $V\subseteq Y$, aperto, vogliamo dimostrare che $f^{-1}(V)$ è aperto in $X$.
Sia $x_0\in f^{-1}(V)$, cerco un intorno $U\subseteq X$ di $x_0$ tale che $f(U)\subseteq V⟹U\subseteq f^{-1}(V)$.

Sia $y_0=f(x_0)$ e sia $\epsilon >0$ tale che $B(y_0,\epsilon )\subseteq V$
Per la uniforme convergenza di $f_n$ si ha che $\exists N\in \mathbb{N}|\forall n>N:d(f_N(x),f(x))<\frac{\epsilon }{3}\forall x\in X$.
Poiché $f_N$ è continua (per ipotesi), scelgo $U$ intorno di $x_0$ tale che $f_N(U)\subseteq B\left(f_N(x_0),\frac{\epsilon }{3}\right)$
Pertanto si ha che se $f(x)\in f(U)$
$d(f(x),f(x_0))\le \underset{\text{Unif. Convergenza}}{\underbrace{d(f(x),f_N(x))}}+\underset{\text{ Continuitaˋ di }{f}_N}{\underbrace{d(f_N(x),f_N(x_0))}}+\underset{\text{Unif. Convergenza}}{\underbrace{d(f_N(x_0),f(x_0)}})<\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon$
Quindi $d(f(x),f(x_0))<\epsilon ⟹f(x)\in B(f(x_0),\epsilon )$, da cui $f(U)\subseteq V⟹U\subseteq f^{-1}(V)$
Per l’arbitrarietà di $x_0$ segue la tesi.