Caratterizzazione degli aperti

Teorema

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico. Sia $A\subseteq X$, allora:
$A$ è aperto di $\tau ⟺A$ è intorno di ogni suo punto.

Dim

1. $⟹$
   Supponiamo $A\in \tau$ e $x\in A$. Allora $\exists A\in \tau \mid x\in A\subseteq A$
2. $⟸$
   Se $A$ è intorno di ogni suo punto, allora $\forall x\in A,\exists U_x\in \tau \mid x\in U_x\subseteq A$
   Osservo che $A=\bigcup _{x\in A}{U}_x$ è aperto in quanto unione di aperti.