I singoletti sono Chiusi Negli Spazi Hausdorff

Teorema

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico di Hausdorff. Allora gli insiemi $\{p\}|p\in X$ sono chiusi.

Dimostrazione

Sia $p\in X$ e considero $\{p\}⟹{\complement }_X\{p\}=X\setminus \{p\}$.
Poiché $X$ è di Hausdorff, allora $\forall q\in X\setminus \{p\}:\exists U$ intorno aperto di $q$ tale che $(X\setminus \{p\})\cap U=\varnothing .$ Pertanto $X\setminus \{p\}$ è intorno di tutti suoi punti e per la caratterizzazione degli aperti $X\setminus \{p\}$ è aperto, dunque $\{p\}$ è chiuso.