Caratterizzazione degli insiemi densi

Caratterizzazione degli insiemi densi

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e $A\subseteq X$.
$\overline{A}=X⟺\forall U\in \tau \mid U\ne \varnothing :U\cap A\ne \varnothing$

Dim

$⟹$:
Supponiamo $\overline{A}=X$ e supponiamo per assurdo che $\exists U\in \tau ,U\ne \varnothing \mid U\cap A=\varnothing$.
Allora $F:={\complement }_{X}U$ è chiuso in quanto complementare di aperto e $U\ne \varnothing ⟹F⊊X$. Quindi ho trovato un chiuso che contiene $A$ ed è contenuto in $X$. Ma ciò è assurdo perché $\overline{A}=X$.
$⟸$ :
Sia $p\in X$. Allora per ipotesi $U\in \tau \mid p\in U:U\cap A\ne \varnothing$. Dunque $p$ è un punto di aderenza per $A$ e dunque $p\in \overline{A}$. Concludo che $\overline{A}=X$.