Teorema di Heine-Boriel

Teorema di Heine-Boriel

Sia $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$, allora:
$K$ è compatto $⟺$ $K$ è chiuso e limitato

$⟹$

Sappiamo che ${\mathbb{R}}^n$ è uno spazio di Hausdorff.
Poiché $K$ è compatto, sappiamo anche che è chiuso (!)
Resta da dimostrare che è limitato.
Siano $B_m:=\{x\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x\Vert <m\}$
Allora $\{B_m\}$ è un ricoprimento di ${\mathbb{R}}^n$ e dunque di $K$.
Ma poiché $K$ compatto, vuol dire che per un numero limitato di $m_1,\dots ,m_k:K\subseteq \bigcup B_{m_i}$
Prendo $M=\max \{m_1,\dots ,m_k\}$, risulta che $\forall x\in K:\Vert x\Vert <M$
Dunque $K$ è limitato.

$⟸$

Supponiamo che $K$ sia chiuso e limitato.
$K$ limitato $⟹\exists L>0|K\subseteq \{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n||x_i|<L\}=[-L,L{]}^n$
Osservo che l’insieme $[-L,L{]}^n$ è compatto perché prodotto finito di compatti.
E poiché $K$ è un sottospazio chiuso di un compatto, allora è compatto.