I Sottospazi Compatti di Spazi T2 sono Chiusi

Teorema

Ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso.

Dimostrazione

Provo che $X\setminus Y$ è aperto.
Sia $x_0\in X\setminus Y$. $\forall y\in Y$ $\exists U_{y,x_0}\ni x_0,\exists V_y\ni y$ intorni aperti e disgiunti, poiché $X$ è $T_2$. Risulta che $\{V_y\}$ è un ricoprimento di $Y$, che è compatto, quindi esiste una sottocollezione $\{U_{y_1},\dots ,U_{y_k}\}$ finita di aperti che ricoprono $Y$.
Poniamo $U=U_{x_0,y_1}\cap \cdots \cap U_{x_0,y_n}$ e $V=V_{y_1}\cup \cdots \cup V_{y_k}$.
(PS, per $U$ uso le intersezioni perché l’intorno che cerco non deve mai intersecare $Y$, altrimenti non sarebbe un sottoinsieme di $X\setminus Y$)
Risulta che $V$ è intorno di $y$ e $U$ è intorno di $x_0$ e $U\cap V=\varnothing$.
Da questa uguaglianza concludo che $U\subseteq X\setminus Y$.
Posso trovare dunque per ogni $x_0\in X\setminus Y$ un intorno di tale punto, da cui $X\setminus Y$ è aperto, perciò $Y$ è chiuso.