Insiemi Clopen e Spazi Connessi

Osservazione

$X$ è connesso $⟺$ gli unici insiemi clopen (aperti e chiusi) sono $X$ e $\varnothing$.
Questo perché se $U\ne \varnothing$ è clopen, allora $U^C=X\setminus U$ è aperto.
Allora $X=(X\setminus U)\cup U$ e $\varnothing =(X\setminus U)\cap U$ e dunque $X$ non sarebbe connesso.