Esempi di Compatti e non Compatti

$\mathbb{R}$ non è compatto

Consideriamo la famiglia di insiemi $\mathcal{A}=\{(n,n+2),n\in \mathbb{Z}\}$.
Tale famiglia è un ricoprimento di $\mathbb{R}$, ma non esiste una sottocollezione finita di $\mathcal{A}$ che ricopre $\mathbb{R}$, dunque non è compatto

Esempio

L’insieme $X=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{Z}}^{+}\right\}$ è compatto.
Infatti, presa una collezione $\mathcal{A}$ ricoprimento di $X$, risulta che $\exists U\in \mathcal{A}|0\in U$ dove $U$ è aperto, quindi intorno di $0$.
Essendo intorno di $0$, conterrà infiniti elementi di $X$, e un numero finito di elementi di $X$ rimarranno fuori, cioè non sono inclusi in $U$. Dunque posso considerare la collezione finita di insiemi $U_m\left\{\frac{1}{m}|m<n\right\}$ che ricopre i restanti punti di $X$.
Ho trovato dunque una collezione $\{U,U_1,\dots ,U_m\}$ finita che ricopre $X$, pertanto quest’ultimo è compatto.