I Compatti lo sono anche Per Punti di Accumulazione

Teorema

Se $X$ è compatto, allora lo è anche per punti di accumulazione
Non vale il viceversa

Dimostrazione

Poichè $A$ non ha p.ti di acc. ogni p.to di $A$ è isolato risp. a $A$.
In particolare $\forall a\in A\exists$ un intorno aperto $U_a\subseteq X$ t.c. $U_a\cap A=\{a\}$
$⟹A$ è chiuso in $X$
$\hookrightarrow$ poichè non contiene p.ti di acc. esterni

Considero la famiglia $\mathcal{U}:=\{X\setminus A\}\cup \{U_a\mid a\in A\}$
$\mathcal{U}$ è un ricoprimento aperto di $X$.

$X\setminus A$ è il complementare di $A$. (è aperto)
Ogni $U_a$ copre esattamente $a\in A$
Per ipotesi $X$ è compatto $⟹\exists$ un sottoricoprimento finito di $\mathcal{U}$
$\exists a_1,\dots ,a_n\in A$ t.c. $X=(X\setminus A)\cup U_{a_1}\cup \cdots \cup U_{a_n}⟹A\subseteq U_{a_1}\cup \cdots \cup U_{a_n}$
Ma $A\cap U_{a_i}=\{a_i\}⟹A=\{a_1,\dots ,a_n\}⟹A$ è finito da cui l’assurdo