Lemma dell'Incollamento

Lemma dell'Incollamento

Sia $X=A\cup B$, dove $A,B$ sono chiusi in $X$
Siano $f:A\to Y$ e $g:B\to Y$ funzioni continue tali che $\forall x\in A\cap B:f(x)=g(x)$.
Allora $\exists h:X\to Y$ continua definita ponendo:
$h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{se }x\in A\\ g(x)& \text{se }x\in B\end{array}$

Dim

$f$ continua $⟹f^{-1}$ aperta $⟹f^{-1}$ chiusa
Osservo che se $C\subseteq Y$ è chiuso, $h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C)$

• $f^{-1}(C)\subseteq A\subseteq X$ è chiuso
• $g^{-1}(C)\subseteq B\subseteq X$ è chiuso
  Quindi $h^{-1}(C)$ è chiuso, e per l’arbitrarietà di $C$ risulta che $h$ è continua.
  Inoltre $h$ è ben definita perché se $x\in A\cap B$ allora $f(x)=g(x)$