Proprietà degli Spazi di Hausdorff

Proprietà

1. Il prodotto tra due spazi di Hausdorff è $T_2$
2. Ogni sottospazio di uno spazio $T_2$ è $T_2$

Dimostrazione della proprietà 1.

Siano $X,Y$ spazi topologici $T_2$. Siano $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y$ tali che $(x_1,y_1)\ne (x_2,y_2)$.
Senza perdere di generalità, si può assumere che $x_1\ne x_2$.
Poiché $X$ è di Hausdorff, allora $\exists U_1,U_2\subseteq X$ intorni aperti rispettivamente di $x_1$ e $x_2$ tali che $U_1\cap U_2=\varnothing$.
Scelgo $U_1\times Y,U_2\times Y\in {\tau }_{\text{prod}}$ intorni di $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$.
Risulta che $(U_1\times Y)\cap (U_2\times Y)=\varnothing$, pertanto $X\times Y$ è di Haussdorf.