Teorema di Weierstrass M-Test

Teorema di Weierstrass M-Test

Sia $X$ un insieme e sia $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni $f_i:X\to \mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$).
Supponiamo che esista una successione di numeri reali non negativi $(M_i)$ tale che:

1. $\forall x\in X,\forall i\in \mathbb{N}:|f_i(x)|<M_i$
2. La serie \sum_\limits{i=1}^{\infty}M_{i} converge

Allora \sum_\limits{i=1}^{\infty}f_{i} converge uniformemente su $X$ a una funzione $s$.

Dimostrazione

Sia s_{n}(x)=\sum_\limits{i=1}^{n}M_{i} la successione delle somme parziali.
Voglio provare che $s_n(x)\rightrightarrows s$
Poiché $(M_i)$ è convergente, allora $\forall \epsilon >0\exists N\in \mathbb{N}|\forall i>N:\sum _{i=n+1}^{\infty }{M}_i<\epsilon$
Quindi, per un $m\in \mathbb{N}$ tale che $m\ge n\le N$ e $\forall x\in X$ si avrà:
$|s_m(x)-s_n(x)|\le \left|\sum _{i=n+1}^m{f}_i\right|\le$
$\le \sum _{i=n+1}^m\left|f_i\right|\stackrel{\text{Hp}}{<}\sum _{i=n+1}^m{M}_i\stackrel{M_i>0}{<}\sum _{i=n+1}^{\infty }{M}_i<\epsilon$
Pertanto $s_n$ converge uniformemente a $s$

Esempi di applicazione del Teorema

$f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$
$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{x^2+k^2}$
Osservo che $\forall k\in {\mathbb{Z}}_{+}:\frac{1}{x^2+k^2}\le \frac{1}{k^2}:=M_k$
Poiché $M_k>0$ e la serie $\forall k\in {\mathbb{Z}}_{+}:\frac{1}{k^2}$ converge, per il T. di Weierstrass M-test si ha che $f$ converge uniformemente in $\mathbb{R}$