Teorema sulle Componenti Connesse

Teorema

Le componenti connesse di $X$ sono sottoinsiemi connessi di $X$, disgiunti tra loro, la cui unione è $X$ e tali che ogni sottoinsieme connesso di $X$ ne interseca esattamente una di esse.

Dim

Il fatto che le componenti connesse siano disgiunte e che la loro unione è $X$ è dato dal fatto che formano una partizione di quest’ultimo.
Supponiamo per assurdo che l’ultima affermazione sia falsa, ossia che $\exists C\subseteq X$ connesso non vuoto tale che interseca due componenti connesse $C_1,C_2$ in punti $c_1\in C_1$ e $c_2\in C_2$.
Poiché $C$ è connesso e contiene $x_1,x_2$ allora $x_1\sim x_2$, pertanto $x_1,x_2$ fanno parte della stessa componente connessa, il che è assurdo.
Dimostriamo che ogni componente connessa è connessa.
Sia $x_0\in C$. Allora $\forall x\in C:\exists A_x\subseteq X$ connesso che contiene $x_0,x⟹x\in A_x$ e $A_x\subseteq C$ (appena dimostrato).
Dunque $C=\bigcup _{x\in C}{A}_x$ unione di connessi aventi un punto in comune.
Pertanto $C$ è connesso.