Topologia Cofinita

Topologia Cofinita

Dato $X$, la sua topologia cofinita è $\tau =\{X\}\cup \{\varnothing \}\cup \{U_j|U^C$ è sottoinsieme finito di $X\}$

Dim

Dimostro che $\tau =\{X\}\cup \{\varnothing \}\cup \{U_j|U^C$ è un sottoinsieme finito di $X\}$ è una topologia su $X$.

1. $\varnothing ,X\in \tau$
2. Sia ${U_j}_{j\in J}$ una famiglia di elementi non banali di $\tau$. Allora $\forall j\in J:|U_j^C|<+\infty$.
   Grazie alla prima Formula di De Morgan si ha che
   $\left(\bigcup _{j\in J}{U}_j\right)=\bigcap _{j\in J}\left(U_j^C\right)\subseteq U_j^C$
   $⟹\left|\left(\bigcup _{j\in J}{U}_j\right)\right|\le \left|U_j^C\right|<+\infty$
   Dunque l’unione dei $U_j$ è un aperto di $\tau$
3. Siano $A,B\in \tau ⟹|A^C|<+\infty$ e $|B^C|<+\infty$.
   Dunque $|(A\cap B{)}^C|=|A^C\cup B^C|=|A^C|+|B^C|<+\infty$
   

Esempio

In $(\mathbb{R},{\tau }_{\text{cof}})$, gli aperti sono del tipo $\mathbb{R}\setminus \{p_1\dots p_k\}$