Topologia Relativa a una Mappa Quoziente

Teorema

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e $Y$ insieme, sia $p:X\to Y$ suriettiva.
Allora $\exists !{\tau }^{\prime }$ topologia tale che $p$ è mappa quoziente.

Dimostrazione

Definisco ${\tau }^{\prime }=\{A\subseteq Y|p^{-1}(A)\in \tau \}$
Devo dimostrare che ${\tau }^{\prime }$ è topologia.

1. $p$ è suriettiva $⟹p(X)=Y⟹X\subseteq p^{-1}(Y)⟹p^{-1}(Y)\in \tau$
   $p^{-1}(\varnothing )=\varnothing \in \tau$
2. Sia $\{A_i{\}}_{i\in I}$ una famiglia di insiemi di ${\tau }^{\prime }$, dunque $\forall i\in I:p^{-1}(A_i)\in \tau$.
   Pertanto $\bigcup _{i\in I}{p}^{-1}(A_i)=p^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)\in \tau$. Pertanto $\bigcup _{i\in I}{A}_i\in {\tau }^{\prime }$
3. Siano $A_1,A_2\in {\tau }^{\prime }$, da cui $p^{-1}(A_1),p^{-1}(A_2)\in \tau ⟹p^{-1}(A_1)\cap p^{-1}(A_2)\in \tau ⟹p^{-1}(A_1\cap A_2)\in \tau$.
   Quindi $A_1\cap A_2\in {\tau }^{\prime }$