Topologia con Seno

Definizione

$\tau =\{U\subseteq \tau |\forall x\in U:\sin x>0\}\cup \{\mathbb{R}\}$
Dove ${\tau }_0$ è la topologia indotta dalla distanza euclidea $d(x,y)=|x-y|$.
Tale insieme è Topologia su $\mathbb{R}$

Dim

1. $\mathbb{R}\in {\tau }_0,\varnothing \in {\tau }_0$
2. Sia $\{U_i{\}}_{i\in I}$. Risulta che:
   a. Se tutti gli $U_i$ sono vuoti allora $\forall x\in {\bigcup }_{i\in I}{U}_i:\sin x>0⟹{\bigcup }_{i\in I}{U}_i\in {\tau }_0$
   b. Se $\exists i\in I|U_i=\mathbb{R}$ allora vale la 2
   c. Se $\forall i\in I:U_i\ne \mathbb{R}$ e $\forall x\in U_i\sin x>0$ allora vale la 2 poiché $U=\bigcup U_i\in {\tau }_0$ e $\forall x\in U\sin x>0⟹U\in \tau$
3. Siano $A,B\in {\tau }_0$.
   a. Se $A=\mathbb{R}⟹A\cap B=B⟹A\cap B\in \tau$. Analogamente vale se $B=\mathbb{R}$.
   b. Se $A,B\ne \mathbb{R}$, allora $\forall x\in A\cap B:\sin x>0\wedge A\cap B\in {\tau }_0⟹A\cap B\in \tau$