Condizione necessaria e sufficiente per la normalità di un sottogruppo

Condizione necessaria e sufficiente per la normalità di un gruppo

Sia $G$ gruppo e $N<G$ sottogruppo.
Allora $N⊲G⟺gN{g}^{-1}\subseteq N\forall g\in G$

Dim

Supponiamo che $N⊲G$, allora $gH{g}^{-1}=H\forall g\in G$.
Viceversa, posto $g\in G$ $gN{g}^{-1}\subseteq N⟹N\subseteq g^{-1}Ng$.
Scambiando il ruolo di $g$ e $g^{-1}$, ottengo $N\subseteq gN{g}^{-1}\subseteq N⟹N=gN{g}^{-1}$ da cui $N⊲G$.

Osservazione

Da questo teorema risulta dunque che basta dimostrare:
$gh{g}^{-1}\in H\forall g\in G,\forall h\in H$ oppure che $\forall g\in G,\forall h\in H:\exists h^{\prime }\in H|gh=h^{\prime }{g}^{-1}$.