Caratterizzazione degli omeomorfismi

Proposizione

Sia $f:X\to Y$ una mappa tra spazi topologici. Essa è omeomorfismo se e solo se:

1. $f$ è bigettiva
2. $f$ è aperta

Dim

$f$ bigettiva $⟹\forall A\subseteq X:f(A)=(f^{-1}{)}^{-1}(A)$
$f^{-1}$ aperta $⟺f$ continua
$f$ aperta $⟺f^{-1}$ continua