Caratterizzazione della Compattezza tramite Proprietà di Intersezione Finita

Teorema

Sia $X$ uno spazio topologico, allora vale la seguente equivalenza:

1. $X$ è compatto
2. Ogni collezione $\mathcal{C}$ di chiusi di $X$ che ha la Proprietà di Intersezione Finita verifica la proprietà: $\bigcap _{C\in \mathcal{C}}C\ne \varnothing$

Dim

Provo l’equivalenza delle negazioni:
Sia $\mathcal{A}$ una collezioni di aperti di $X$ e definiamo $\mathcal{C}=\{X\setminus A|A\in \mathcal{A}\}$
Risulta che $\mathcal{C}$ è una collezione di chiusi in $X⟺\mathcal{A}$ è una collezione di aperti, inoltre:

• $\mathcal{A}$ è un ricoprimento di $X⟺\bigcap _{c\in \mathcal{C}}C=\varnothing$
• Un sottoinsieme finito $\{A_1,\dots ,A_n\}\mathcal{A}$ ricopre $X⟺\bigcap _{i=1}^n(X\setminus A_i)=\varnothing$

Tali equivalenze sono conseguenza delle formule di De Morgan