Esempio di Confronto tra Topologie

Esempio

La base per la topologia euclidea su $\mathbb{R}$ è $\beta =\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a<b\}$
La base per la topologia del limite inferiore ${\mathbb{R}}_{\ell }$ è ${\beta }^{\prime }=\{[a,b)|a,b\in \mathbb{R},a<b\}$
La K-topologia su $\mathbb{R}$ è generata dalla base ${\beta }^{\prime \prime }=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a<b\}\cup \{(a,b)\setminus K\}$ con $K=\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$

Topologia	Confronto
$\mathbb{R}$ vs ${\mathbb{R}}_{\ell }$	$\mathbb{R}\subseteq {\mathbb{R}}_{\ell }$
$\mathbb{R}$ vs ${\mathbb{R}}_K$	$\mathbb{R}\subseteq {\mathbb{R}}_K$
${\mathbb{R}}_{\ell }$ vs ${\mathbb{R}}_K$	non confrontabili

Applico la proposizione precedente per dimostrare che $\mathbb{R}\subseteq {\mathbb{R}}_{\ell }$:
Prendo $B=(a,b)\in \beta$ e $x\in B$ arbitrari. Si ha che $\exists B^{\prime }=[x,b)\subseteq (a,b)$, da cui la tesi.
Viceversa, se considero $B^{\prime }=[x,b)\in {\beta }^{\prime }$, $\nexists (a,b)\in \beta \mid x\in (a,b)\subseteq [x,b)$