Esempio sull'unicità della Topologia Quoziente

Esempio 1

$(X,\tau )=([0,1],{\mathcal{E}}_{[0,1]})$
Sia $\sim$ una relazione di equivalenza tale che $\forall t,s\in [0,1]:t\sim s⟺x=s\vee t,s\in \{0,1\}$ (ossia identifica i bordi del segmento)
Consideriamo $f_1:X\to S^1$ tale che $t⟼e^{2\pi ti}$ (dall’esempio della mappa quoziente)
$f_2:X\to {}^X{/}_{\sim }$ tale che $t\in [0,1]⟼[t]$
Risulta che $f_1(t)=f_1(s)⟺e^{2\pi is}=e^{2\pi it}⟺s-t\in \mathbb{Z}⟺s=t\vee s,t\in \{0,1\}$. L’ultima doppia implicazione vale perché $s,t\in [0,1]$
Le condizioni del Teorema sull unicità della topologia quoziente sono verificate, per cui $\exists \varphi :S^1⟼{}^X{/}_{\sim }$ omeomorfismo