La Box Topology non è Connessa

Esercizio ${\mathbb{R}}^{\omega }$ con Box Topology

Dimostro che $({\mathbb{R}}^{\omega },{\tau }_{\text{box}})$ non è connesso
Mi basta trovare due insiemi disgiunti non vuoti che separano ${\mathbb{R}}^{\omega }$.
Considero:

• $A$ l’insieme delle successioni limitate
• $B$ l’insieme delle successioni non limitate
  Risulta che i due insiemi sono disgiunti e aperti per la Box Topologia:
  dato un punto $a=(a_1,a_2,\dots )\in {\mathbb{R}}^{\omega }$ è possibile considerare un intorno $U=(a_1-1,a_1+1)\times (a_2-1,a_2-1)\times \dots$.
  Se $a$ è limitato, allora $U\subseteq A$, se $a$ non è limitato, allora $U\subseteq B$.
  Dunque ho trovato una separazione rispetto alla box topology dunque ${\mathbb{R}}^{\omega }$ non è connesso