Prodotto di Spazi Connessi

Teorema

Il prodotto finito di spazi connessi è connesso

Dimostrazione per due spazi connessi

Considero $X,Y$ spazi connessi e il loro prodotto $X\times Y$.
Sia $(a,b)\in X\times Y$
Osservo che $X\times \{b\}\simeq X$ (omeomorfo) e $\{a\}\times Y\simeq Y$ pertanto sono connessi.
Definisco $\forall x\in X:T_x:=(X\times \{b\})\cup (\{a\}\times Y)$
In virtù del teorema sull’unione di spazi connessi risulta che $T_x$ è connesso.
Pertanto, $X\times Y=\bigcup _{x\in X}{T}_x$ è connesso.

Dimostrazione per $n$ spazi connessi

Abbiamo già dimostrato il caso $n=2$
Supponiamo che la tesi valga per $n$ sottospazi e dimostriamolo per $n+1$.
$\underset{\text{connesso per ipotesi}}{\underbrace{X_1\times \cdots \times X_n}}\times X_{n+1}$
Considero $X_1\times \cdots \times X_n=Y$, allora $Y\times X$ è connesso.