Proprietà Interno, Esterno e Frontiera

Proprietà

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e $A,B\subseteq X$. Allora valgono le seguenti proprietà dell’interno, esterno e frontiera di $A,B$:

1. $\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\subseteq \text{Int}(A\cup B)$
2. $\text{Int}(A)\cap \text{Int}(B)=\text{Int}(A\cap B)$
3. $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B}$;
4. $\overline{A\cap B}\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}$
5. $\text{Est}(A)\cup \text{Est}(B)\subseteq \text{Est}(A\cap B)$
6. $\text{Est}(A)\cap \text{Est}(B)=\text{Est}(A\cap B)$
7. $Fr(A\cup B)\subseteq Fr(A)\cup Fr(B)$
8. $Fr(A\cap B)\subseteq Fr(A)\cap Fr(B)$

Dim

1. Sia $x\in \text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)$. Allora $\exists U,\in \tau \mid x\in U\subseteq A$. Ma $A\subseteq A\cup B$ pertanto $x\in U\subseteq A\subseteq A\cup B⟹x\in \text{Int}(A\cup B)$
2. Supponiamo $x\in \text{Int}(A)\cap \text{Int}(B)$. Allora $\exists U\in \tau \mid x\in U\subseteq A$ e $\exists U^{\prime }\in \tau \mid x\in U^{\prime }\subseteq B$.
   Osservo che $U\cap U^{\prime }\in \tau$ e $x\in U\cap U^{\prime }\subseteq A\cap B⟹x\in \text{Int}(A\cap B)$.
   Viceversa se $x\in \text{Int}(A\cap B)$ Allora $\exists U\in \tau \mid x\in U\subseteq A\cap B$. Quindi $U\subseteq A,U\subseteq B⟹x\in \text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)$
3. $\overline{A}\cup \overline{B}$ è chiuso in quanto unione di chiusi, inoltre $A\cup B\subseteq \overline{A}\cup \overline{B}$ quindi $\overline{A\cup B}\subseteq \overline{A}\cup \overline{B}$. (ricordo che la chiusura di un insieme $A$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$).
   Viceversa, $A,B\subseteq A\cup B$ e $\overline{A},\overline{B}\subseteq \overline{A\cup B}⟹\overline{A}\cup \overline{B}\subseteq \overline{A\cup B}$