Teorema di Unicità del Limite in Spazi di Hausdorff

Teorema di Unicità del Limite

Se $(X,\tau )$ spazio topologico è di Hausdorff, allora ogni successione $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge al più a un punto.

Dimostrazione

Supponiamo che $x_n$ sia una successione convergente a $x\in X$ e a $y\in X$ con $x\ne y$.
Allora poiché $X$ è di Hausdorff, allora $\exists U_x,U_y$ intorni aperti rispettivamente di $x$ e $y$ tali che $U_x\cap U_y=\varnothing$.
Per definizione di limite di successione, $\exists N\in \mathbb{N}|\forall n>N:x_n\in U_x$. Ma allora $x_n$ non può convergere a $y\in U_y$, da cui l’assurdo.