Teorema sull'immagine di compatti mediante funzioni continue

Teorema

Sia $f:X\to Y$ una funzione continua e $X$ compatto.
Allora anche $f(X)$ è compatto.

Dimostrazione

Sia $\mathcal{A}$ un ricoprimento aperto di $f(X)$.
Considero $\mathcal{U}=\{f^{-1}(V)|V\in \mathcal{A}\}$
Tale collezione è un ricoprimento aperto di $X$ in quanto $f$ è continua.
Dal momento che $X$ è compatto, esiste una collezione finita $\{f^{-1}(A_1),\dots ,f^{-1}(A_n)\}$ che ricopre $X$. Ma allora $\{A_1,\dots ,A_n\}$ è ricoprimento finito di $f(X)$, per cui è compatto.