Topologie confrontabili e insiemi densi

Proposizione

Siano $X\ne \varnothing$, $\tau ,{\tau }^{\prime }$ due topologie su $X$ tali che $\tau \subseteq {\tau }^{\prime }$, Allora se $A\subseteq X$ è denso in ${\tau }^{\prime }$, allora lo è anche in $\tau$

Dim

Supponiamo che $A$ è denso in $(X,{\tau }^{\prime })$. Allora $\forall U\in {\tau }^{\prime }\mid U\ne \varnothing :U\cap A\ne \varnothing$.
Poiché $\tau \subseteq {\tau }^{\prime }$, si ha che $\forall U^{\prime }\in \tau \subseteq {\tau }^{\prime }\mid U^{\prime }\ne \varnothing :U^{\prime }\cap A\ne \varnothing$

Controesempio

Considero $X=\mathbb{R}$ e le topologie $\mathcal{E},\mathcal{P}(\mathbb{R})$. La topologia discreta è più fine della topologia euclidea.
Sappiamo che $\mathbb{Q}$ è denso in $(\mathbb{R},\mathcal{E})$. Tuttavia $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}$ in $\mathcal{P}(\mathbb{R})$