Box Topologia e Continuità

La Box Topologia non garantisce la continuità delle funzioni

Consideriamo $(\mathbb{R},\mathcal{E})$ (topologia euclidea) e $({\mathbb{R}}^{\mathbb{N}},{\tau }_{\text{box}})$ la box topologia.
Definisco $\Delta :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ tale che $\forall t\in \mathbb{R}:\Delta (t)=(t,t,t,\dots )$
Considero l’aperto di ${\tau }_{\text{box}}$, $U=(-1,1)\times \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\times \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\times \left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\times \dots$
Com’è fatto ${\Delta }^{-1}(U)$?
${\Delta }^{-1}(U)=\{t\in \mathbb{R}|\Delta (t)\in U\}=\left\{t\in \mathbb{R}||t|<\frac{1}{n},\forall n\in \mathbb{N}\right\}=\{0\}$
Osservo dunque che la controimmagine di $U$ è un chiuso di $(\mathbb{R},\mathcal{E})$, quindi $\Delta$ non è una funzione continua