La Proiezione Parallela a un Compatto è Chiusa

Proposizione

Siano $X,Y$ spazi topologici con $Y$ compatto.
Allora la proiezione $p_X:X\times Y\to X$ è un’applicazione chiusa

Dim

Sia $C\subset X\times Y$ un sottoinsieme chiuso, vogliamo dimostrare che $p_X(C)$ è chiuso.
Verifichiamo allora che $X\setminus p_X(C)$ è aperto.
Sia $x\in X\setminus p_X(C)⟹x\notin p_C(C),\forall (x^{\prime },y^{\prime })\in C:x^{\prime }\ne x$
Allora $\forall y\in Y,(x,y)\notin C$, ossia $\{x\}\times Y\subseteq (X\times Y)\setminus C$
Poiché $C$ è chuso, allora $(X\times Y)\setminus C$ è aperto, e per il Lemma del Tubo, dato che $Y$ è compatto e $\{x\}\times Y\subseteq (X\times Y)\setminus C$ allora $\exists U$ intorno aperto di $x$ tale che $\{x\}\times Y\subseteq U\times Y\subseteq (X\times Y)\setminus C$.
Ho trovato un intorno di $x\in X\setminus p_X(C)$, pertanto tale insieme è intorno di tutti i suoi punti, quindi è un aperto $⟹p_X(C)$ è chiuso.