La Topologia Prodotto è Connessa

${\mathbb{R}}^{\omega }$ con Topologia Prodotto

Dimostriamo che $(R^{\omega },{\tau }_{\text{prod}})$ è connesso.
Consideriamo $\forall n\in \mathbb{N}:{\tilde{\mathbb{R}}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n,0,0,\dots )\}$
e la funzione $\phi :{\tilde{\mathbb{R}}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ che associa
$\forall (x_1,\dots ,x_n,0,0,\dots )⟼(x_1,\dots ,x_n)$
Tale funzione è continua (in quanto lo sono le sue componenti in virtù del Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto)
Inoltre ogni ${\tilde{\mathbb{R}}}^n\simeq {\mathbb{R}}^n$ è connesso, in quanto ${\mathbb{R}}^n$ è Prodotto di Spazi Connessi finito.
Inoltre tutti gli ${\tilde{\mathbb{R}}}^n$ contengono il punto $(0,0,\dots )\in {\mathbb{R}}^{\omega }$, pertanto la loro unione $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{\tilde{\mathbb{R}}}^n={\mathbb{R}}^{\infty }$ è connessa per il Teorema sull’Unione di Spazi Connessi è connessa.
(Ricordo che ${\mathbb{R}}^{\infty }$ contiene solo successioni che ad un certo punto finiscono)
Sia $a=(a_1,a_2,\dots )\in {\mathbb{R}}^{\omega }$ e sia $U=\prod _i{U}_i$ intorno di $a$ per la topologia prodotto.
Risulta che $U_i=\mathbb{R}$ definitivamente da un certo $N$ in poi.
Considerato il punto $x=(a_1,\dots ,a_N,0,0\dots )\in {\mathbb{R}}^{\infty }$. Tale punto appartiene a $U$ in quanto $x_i\in U_i,\forall i$
Abbiamo dimostrato dunque che per ogni punto di ${\mathbb{R}}^{\omega }$ esiste un intorno $U$ che interseca ${\mathbb{R}}^{\infty }$, ossia tutti i punti di ${\mathbb{R}}^{\omega }$ sono punti di aderenza per $R^{\infty }$ e quindi ${\overline{\mathbb{R}}}^{\infty }=R^{\omega }$ dunque ${\mathbb{R}}^{\omega }$ è connesso rispetto alla topologia prodotto.