La topologia cofinita non è 1 numerabile

Proposizione

La topologia cofinita non è primo-numerabile

Dim

Devo dimostrare che $\forall x\in X$ NON esiste un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Suppongo per assurdo che sia I-numerabile. In particolare lo è per il punto $0\in \mathbb{R}$ ha un SFI $\mathcal{U}=\{U_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ numerabile.
Nella topologia cofinita, questi insiemi sono del tipo $\mathbb{R}\setminus \{p_1\dots p_k\}$
Considero $G:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{\complement }_{\mathbb{R}}{U}_n$, ossia l’insieme dei punti esclusi dagli intorni di $\mathcal{U}$

Osservo che:

1. $G$ è al più numerabile
2. $0\notin G$
3. $\exists a\in \mathbb{R}\mid a\notin (G\setminus \{0\})$ (perché $|\mathbb{R}|={\aleph }_1$)
   Quindi considero l’insieme $\mathbb{R}\setminus \{a\},a\ne 0$. Tale insieme è intorno $0$, quindi $\exists U_n\in \mathcal{U}\mid 0\in U_n\subseteq \mathbb{R}\setminus \{a\}$.
   Si avrebbe dunque che ${\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{R}\setminus \{a\}=\{a\}\subseteq {\complement }_{\mathbb{R}}{U}_n⟹a\in {\complement }_{\mathbb{R}}{U}_n\subseteq G$, ma ciò è assurdo in quanto $a\notin G$