Teorema sulla Continuità di Mappe tra Spazi Metrici

Continuità delle funzioni tra Spazi Metrici

Siano $(X,d_X),(Y,d_Y)$ due spazi metrici.
Una funzione $f:X\to Y$ è continua $⟺\forall \epsilon >0\exists \delta >0|d_X(x,y)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$

Dimostrazione

Se $f$ è continua allora $f^{-1}(B(f(x),\epsilon ))$ è aperto in $X$.
Allora $\exists \delta >0|B(x,\delta )\subseteq f^{-1}(B(f(x),\epsilon ))$.
Dunque $y\in B(x,\delta )⟹f(y)\in f^{-1}(B(f(x),\epsilon ))$

Suppongo che valga la condizione metrica $\epsilon -\delta$. Voglio dimostrare che $f$ è continua in senso topologico.
Sia $V$ un aperto di $Y$. Considero la controimmagine $U=f^{-1}(V)$.
Devo dimostrare che $U$ è aperto in $X$, ovvero che per ogni suo punto esiste un intorno contenuto in $U$.

Sia $x\in U$. Per definizione $f(x)\in V$.
Poiché $V$ è aperto, $\exists \epsilon >0$ tale che la palla $B_Y(f(x),\epsilon )\subseteq V$.

Per l’ipotesi iniziale, in corrispondenza di questo $\epsilon$, $\exists \delta >0$ tale che:
$d_X(x,y)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$
In termini insiemistici, questo significa che l’immagine della palla di raggio $\delta$ cade nella palla di raggio $\epsilon$: $f(B_X(x,\delta ))\subseteq B_Y(f(x),\epsilon )$
Unendo le inclusioni ottengo $f(B_X(x,\delta ))\subseteq B_Y(f(x),\epsilon )\subseteq V$
Applicando la controimmagine $B_X(x,\delta )\subseteq f^{-1}(V)=U$
Poiché $\forall x\in U$ ho trovato un raggio $\delta$ tale che $B_X(x,\delta )\subseteq U$, concludo che $U$ è aperto.