Uno Spazio di Hausdorff Compatto Privo di Punti Isolati non é Numerabile

Teorema

Sia $X$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto. Se $X$ non ha punti isolati, allora non é numerabile.

Dimostrazione

Dato $U\subseteq X$ aperto non vuoto e qualunque $x\in X$, $\exists V\subseteq U$ t.c. $x\notin \overline{V}$

1. Se $x\in U$, dato che $x$ non è isolato, esiste un p.to $y\in U$ t.c. $y\ne x$
2. Se $x\notin U$, poichè $U$ non è vuoto, posso scegliere un qualsiasi $y\in U$.

Inoltre $X$ è Hausdorff $⟹\exists W_1,W_2$ aperti disgiunti t.c. $x\in W_1,y\in W_2\wedge W_1\cap W_2=\varnothing$
Allora definiamo $V=W_2\cap U\ni y$ (è un aperto $\ne \varnothing$)
$V\subseteq U$ poichè $W_2\cap U\subseteq U$ e t.c. $x\notin \overline{V}$

Supponiamo per assurdo che $\exists f:\mathbb{N}⟶X$ suriettiva ($X$ è numerabile)
Sia $x_n=f(n)$. L’idea è di costruire per ricorsione una successione di aperti
decrescenti rispetto a "$\subseteq$" (cioè $V_1\supseteq V_2\dots$) t.c. $x_n\notin {\overline{V}}_n$ e ${\overline{V}}_n\subseteq V_{n-1}$

Pongo $U:=X{x}_1\in X=:U$, otteniamo $V_1\subseteq X\wedge x_1\notin {\overline{V}}_1$. Poi, dato $V_{n-1}$ applichiamo
lo stesso argomento per $x_n$ per ottenere $V_n\subseteq V_{n-1}\wedge x_n\notin {\overline{V}}_n$

Abbiamo così ottenuto una successione di chiusi ${\overline{V}}_1\supseteq {\overline{V}}_2\dots$
Dato che $X$ è compatto: $\bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline{V}}_i\ne \varnothing$ (proprietà di int. finita)
Sia $x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline{V}}_n⟹x\ne x_n\forall n\in \mathbb{N}$ (poichè $x_n\notin {\overline{V}}_n\forall n$)

Per costruzione $x_n\notin {\overline{V}}_n$ mentre $x\in {\overline{V}}_n$
$⟹f:\mathbb{N}⟶X$ non è suriettiva poichè $\nexists m\in \mathbb{N}$ t.c. $f(m)=x$, da cui l’assurdo.